GeoGebra软件在数学教学中应用探索——以《祖暅原理及其应用》的设计为例

居加颖，姜 宁

(1. 南京市宁海中学，江苏南京，210003 2. 南京市金陵中学河西分校，江苏南京，210003)

全球教育发展和课程改革趋向于信息技术与学科教学的深度交融，GeoGebra软件作为一种全新的动态数学软件，它扩展了几何教学的内涵，丰富了几何教学的价值.GeoGebra软件的应用充分发挥了计算机的动态变化特征，帮助学生在“变化”中发现“不变的”的几何本质，并提高他们的思维品质.

基于此，本文设计了“祖暅原理”的GeoGebra软件应用案例，探索GeoGebra软件在数学教学上的优势.

在立体几何章节问题中，很多内容与学生已有的空间想象能力有关，有的甚至要有一定的运动变化，这无疑给学生画图并解决立体几何问题增加了很大的难度.GeoGebra软件的应用为解决这一难题提供了强大的工具.基于这样的思考，本节课设计如下：

1.1 阶段Ⅰ：学前咨询

学生在学习祖暅原理之前，笔者通过调查问卷及当面交流的方式，了解学生对有关立体几何图形结构、性质、知识网络建构等认知水平，为进行下一阶段的教学做好准备.为此，笔者设计了一个立体几何学习状况的调查问卷(见下表)：

题号题 目1你的性别是?A. 男 B. 女2你觉得立体几何有趣吗?A. 十分有趣 B. 有一点趣味 C. 没多大意思3你觉得平面几何难吗?A. 非常容易 B. 容易 C. 适中 D. 困难4你觉得立体几何难吗?A. 非常容易 B. 容易 C. 适中 D. 困难5你觉得立体几何难在哪些方面?A. 空间想象力欠缺B. 定理多,无从下手C. 初中平面几何基础不好,所以对几何题目害怕D. 其它方面6你认为学习立体几何的关键能力是什么?A. 空间想象能力 B. 观察作图能力C. 逻辑推理能力 D. 计算能力7你觉得哪种学习方式学习立体几何效果最好?A. 听老师讲授与和自身练习结合B. 用立体几何模具做演示C. 用动态作图软件做演示D. 师生学习互动,让学生交流参与8在学习过程中,你会自主梳理立体几何相关章节(如《点线面之间的位置关系》)的知识要点吗?A. 会,并且做得很好 B. 会,但做得不够好C. 不会,没有建构清晰的知识网络D. 不会,没有必要9你认为你的空间想象能力如何?A. 可以在脑海中构建一个复杂的立体模型B. 建立模型时,有时清楚有时迷糊C. 简单三维几何体很轻松D. 联想空间立体模型很艰难10你知道下面哪些制作立体图形的软件?A. 几何画板 B. GeoGebra C. Flash D. PPT

【设计意图】充分了解学生在学完立体几何章节内容后的学习现状，以便教师根据学生的最近发展区设计问题.便于下面运用GeoGebra软件解决问题，体现该软件的优势.

1.2 阶段Ⅱ：引导定向——祖暅原理的猜想

在这个阶段，学生可以在视觉认知的基础上认识几何体的数学性质.通过GeoGebra软件，可以建立符合祖暅原理条件与一般图形之间的联系，激发学生探求新知识的欲望，为此设计以下问题：

1.2.1 问题情境

(1) 洗扑克牌实验：任意洗牌，并将这副扑克牌放置于桌面上，它的体积会变化吗？

(2) 课桌上放置一叠无规则形状的作业本，怎样求它的体积呢？

1.2.2 介绍数学家祖暅

问题1：祖暅提出“幂势既同，则积不容异”观点，其含义是什么？

【设计意图】让学生从数学史中感受数学文化的美与丰富的内涵，对本节课的主题有初步的感性认识，提升学习的兴趣和内驱力.

问题2：如图1，两个不规则几何体被任意平行于地面的平面所截，你能得出什么结论？

图1 祖暅原理的猜想

【设计意图】图1为GeoGebra软件设计的不规则几何体在任意平行于底面的截面，学生能够通过具体数据观察两个截面面积之间的关系，为猜想并验证祖暅原理提供数据和图形支持.此时学生的几何思维水平能够达到识别图形并确定其性质，即能够根据几何体的性质去猜想原理内容.

1.3 阶段Ⅲ：阐明——祖暅原理的形成

问题3：通过图1的观察和猜想，你能否阐明祖暅原理的内容和使用条件呢？

【设计意图】学生通过对GeoGebra软件的动态图形中变与不变量的观察与概括总结，进一步深化对原理的理解，将图形语言转化为数学语言.学生几何思维水平从分析图形上升到进行非形式化的演绎，即可以进行非形式化演绎水平.

1.4 阶段Ⅳ：自由定向——祖暅原理的推广

问题4：如图2所示，取底面半径和高度相同的圆柱，以圆柱体上底面为底面，下底面为顶点挖一个圆锥体.在同一水平面上切割这两个几何体，你能得出什么结论？球体体积能由此导出吗？

图2 球体体积的推导

【设计意图】推导未知几何体体积，这就是祖暅原理的主要应用价值.在截面移动过程中对截面面积的观察，以祖暅原理为背景进行探索，完成立体几何中主要几何体(柱、锥、台、球体以及组合体)体积公式的归纳，实现从已知到未知的探索过程.

问题5：你还能设计出哪些几何体来推广祖暅原理并推导几何体体积吗？

【设计意图】进一步加深对祖暅原理的理解与应用，引导学生思考：可以将圆柱变成棱柱，圆锥变成棱锥，也可以将棱柱平放，设计相应的棱锥.再通过类比联想，给出用棱柱棱锥推导球的体积的方法(见下图3).此阶段借助于GeoGebra软件动态演示使学生的思维水平达到形式演绎的层面.

图3 球体体积的推导2

推导球体体积过程如下：

【设计意图】运用GeoGebra软件设计过程流畅自然，图形简洁美观，便于学生更好地在大脑中建构空间模型，发现更多的优美结论，真正感受数学之美，突出该软件可视化、易操作等特点.

可以借助实物、几何模型和可视化Geogebra软件，对事物的空间形式进行观察、分析，对空间图形的点、线、面的位置关系与变换进行空间想象，从而大胆猜想、深入探索.运用Geogebra软件探究祖暅原理的过程就很好地体现了如何创设几何情境，提出合理猜想并验证的思维过程.

祖暅原理对学生学习有什么作用呢？其最终目标是将原理转化为解决几何问题的能力及一般方法，并形成自身的逻辑体系.

【设计意图】学生的几何思维能力通过前几个教学阶段已经达到一定的水平.在此基础上，加强祖暅原理的实际运用解决问题，不仅能够将数学文化慢慢渗透到课堂教学中，而且能进行更深层次演绎、计算、证明等复杂的内化过程，实现祖暅原理整个知识体系的完善，进而发展学生数学建模、直观想象等数学核心素养.

在高中数学教学中，立体几何一直是几何教学过程中的重点和难点内容之一.从初中平面思维到高中的三维空间的扩展和提升对学生来说是一次重要的跨越，但学生在学习过程中往往缺乏空间想象能力，且空间知觉与图形认识能力发展不足，故需要教师为学生建立适当的“支架”.

本节课以几何教学中著名的范希尔理论作为基石，通过目前最流行的GeoGebra软件，动态演示了“祖暅原理及其应用”这部分数学知识的背景、形成过程和方法.通过对祖暅原理的数学文化探秘，让学生感受了数学的产生与发现之美，让学生亲历了GeoGebra软件展示祖暅原理的动态生成与应用过程，更让学生亲身体验了自身几何思维水平的提升过程.通过模具演示，结合GeoGebra软件的动态演示，一步一步地通过问题逐层递进启发，从“实验—猜想—观察—分析—总结—应用”，引导学生突破难点，解决问题.其中运用了圆柱挖掉圆锥，棱柱挖掉棱锥等解题技巧，体现了“化难为易”“空间问题平面化”的转化思想，发展了学生的思维.

在几何教学中，最重要的不是几何知识的获取量，而是学生几何思维水平的高低.在范希尔理论基础上对教师几何教学过程的设计，为学生几何思维水平的提升提供了强有力的推动，不仅能快速提升学生直观想象、逻辑推理等数学核心素养，更能有效培养学生类比、构造、转化、极限等数学思想的形成，为后续进入大学学习深造打下了坚实的基础.

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